單位四元數的動態性質
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公式推導
設一個 $q(t)$ 為一個隨時間 $t$ 變動的單位四元數函數，並且在時間 $t$ 以絕對坐標系表示的瞬時角速度為 $\omega(t)$，可簡記為 $\omega$
因此在極短的時間片段 $\Delta t$ ，物體進行一個沿單位向量$\hat\omega$ 旋轉角度$\Delta \theta = ||\omega|| \Delta t$ 的旋轉運動
並且可以以單位四元數將運動描述為
$$
\begin{align}
\Delta q &= cos\frac{\Delta \theta}{2} + \hat \omega sin \frac{\Delta \theta}{2} \\
&= cos\frac{||\omega||\Delta t}{2} + \hat \omega sin \frac{||\omega||\Delta t}{2}
\end{align}
$$
於是在時間 $t + \Delta t$ 的單位四元數函數可表示為我們可以取得 q(t))
$$
q(t + \Delta t) = \Delta q\text { }q(t)
$$
我們可以取得 $q(t)$ 的瞬時變化量
$$
\begin{align}
q(t + \Delta t) - q(t) &= \Delta q\text { }q(t) - q(t)\\
&= (cos\frac{||\omega||\Delta t}{2} + \hat \omega sin \frac{||\omega||\Delta t}{2})q(t) - q(t) \\
&= (cos\frac{||\omega||\Delta t}{2} - 1)q(t) + \hat \omega sin \frac{||\omega||\Delta t}{2}q(t)\\
&= -2 sin^2 \frac{||\omega||\Delta t}{4}q(t) + \hat \omega sin \frac{||\omega||\Delta t}{2}q(t)
\end{align}
$$
因此 $q(t)$ 的導數為
$$
\begin{align}
\dot q(t) &= \lim_{\Delta t \to 0} {\frac{q(t + \Delta t) - q(t)}{\Delta t}}\\
&=\lim_{\Delta t \to 0}{\frac{1}{\Delta t}(-2 sin^2 \frac{||\omega||\Delta t}{4}q(t) + \hat \omega sin \frac{||\omega||\Delta t}{2}q(t))} \\
&= \hat \omega \lim_{\Delta t \to 0}\frac{1}{\Delta t}sin \frac{||\omega||\Delta t}{2}q(t) \\
&= \hat \omega \frac{||\omega||}{2}q(t) = \frac{1}{2} \omega(t)q(t)
\end{align}
$$
角速度與單位四元數導數的關係
由於
$$
\dot q = \frac{1}{2} \omega q
$$
可得
$$
\omega = 2 \dot qq^*
$$
根據單位四元數的旋轉公式，我們可以取得角速度在附體坐標系的描述為
$$
\begin{align}
\widetilde \omega &= q^* \omega q
\end{align}
$$
因此 $\dot q$ 可以利用附體坐標系的角速度表示如下:
$$
\dot q = \frac{1}{2} q \widetilde \omega
$$
範例程式
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